Las Paradojas del Infinito

LAS PARADOJAS DEL
INFINITO

“La matemática es la ciencia del infinito” (Hermann Weyl)

“El infinito no es más que un giro peculiar dado a la generalidad” (Charles Sanders Peirce)

“El infinito no es una cantidad” (Wittgenstein)

“El infinito siempre es en potencia, nunca en acto” (Aristóteles. Metafísica)

El Infinito
Definición

El infinito se define como “un número mayor que cualquier número natural”. Según esta definición, el infinito no es un número natural, porque si lo fuera, la definición sería contradictoria, pues el infinito tendría que ser mayor que sí mismo. Paradójicamente, este concepto misterioso desempeña un papel central en la matemática.

Infinito cardinal e infinito ordinal

El número infinito aparece inicialmente de dos formas: como cardinal (número de elementos de un conjunto infinito) o como ordinal (número de orden de un elemento infinito de un conjunto ordenado infinito). En el conjunto de los números naturales N={1, 2, 3, ...} aparecen estos dos tipos de infinito. En ambos casos (cardinal y ordinal) estamos ante números imaginarios, en el sentido de que tenemos que apelar a la imaginación para intuirlos.

Infinito potencial y actual

Tradicionalmente se considera que hay dos tipos de infinito: el potencial y el actual. Como estos conceptos son difíciles o imposibles de definir, hay que acudir forzosamente a las metáforas.

La metáfora del infinito potencial es una rueda que, partiendo del reposo, gira indefinidamente, sin pararse nunca. El infinito natural es el infinito generado sumando 1 indefinidamente a una variable inicializada a 0 y es la cardinalidad del conjunto de los números naturales. El infinito potencial es un infinito activo, cuantitativo y operativo, caracterizado por un proceso repetitivo sin fin, sin resultado final.
La metáfora del infinito actual −y la que mejor ilustra este concepto− es el de un polígono regular inscrito en una circunferencia. Se empieza con un polígono de 3 lados, luego 4, etc. hasta un polígono de infinitos lados, que se identifica con la circunferencia, que es el resultado final del proceso. El infinito actual es un infinito pasivo, cualitativo y descriptivo, que corresponde a un proceso infinito que se considera ya realizado, completado.

Para Aristóteles y Kant, el infinito es siempre potencial, es decir, incompleto, nunca actual. Para Gauss, “el uso del infinito como algo completado no se debe permitir en matemáticas”.

La Teoría de Cantor sobre el Infinito

Cantor fue el gran impulsor del tema del infinito. Según él, existen diferentes órdenes o tipos de infinitos. Se basó en las ideas siguientes:

La cardinalidad de los números racionales

La cardinalidad del conjunto de los números racionales Q es infinita, como la de los números naturales. La demostración es sencilla, pues basta con ordenar los números racionales de la forma p/q, con q = 2, 3, 4,... y p = 1, 2, 3,..., q−1. Hay algunos números racionales que se repiten (como en el caso de 2/4 =1/2 ):

q	2	3		4			5				...
p	1	1	2	1	2	3	1	2	3	4	...
p/q	1/2	1/3	2/3	1/4	2/4	3/4	1/5	2/5	3/5	4/5	...
Nro. natural	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...

Cardinalidad como equiparabilidad

Dos conjuntos finitos tienen la misma cardinalidad (número de elementos) si puede establecerse una relación biunívoca entre los elementos de ambos conjuntos (es decir, lo que se denomina una biyección).

Esta propiedad de equiparabilidad es evidente para los conjuntos finitos, pero Cantor lo aplicó también a los conjuntos infinitos. Descubrió que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio del mismo, por lo que dedujo que ambos tienen la misma cardinalidad. Por ejemplo, los números pares tienen la misma cardinalidad (infinita) que los números naturales:

Nros. naturales	1	2	3	4	5	...
Nros. naturales pares	2	4	6	8	10	...

Esta paradoja de que el conjunto de los números pares tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales ya fue descubierta por Galileo de ahí el nombre de “Paradoja de Galileo” y suponía ir contra el principio del sentido común que afirma que “El todo es mayor que cualquiera de sus partes”, una de las nociones comunes (la octava, concretamente) de los Elementos de Euclides.

Aunque Cantor fue el impulsor del tema del infinito, Bolzano se anticipó a Cantor en el estudio de los conjuntos infinitos y sus paradojas, defendiendo (como Cantor) el infinito actual.

Potencias recursivas de un conjunto

La potencia de un conjunto C finito, denotada como P(C), se define como el conjunto de todos los subconjuntos que pueden formarse con los elementos de C. Por ejemplo:

P(C) tiene mayor cardinalidad que C. Se suele simbolizar por 2^C, evocando la propiedad de que 2ⁿ es el número de elementos de la potencia de un conjunto de n elementos. En el caso del conjunto de los números naturales (N), la cardinalidad de la potencia de N (que se suele representar simbólicamente como 2^N) es mayor que la cardinalidad de N. Análogamente Cantor aplicó recursivamente el concepto de potencia al conjunto P(N), al conjunto P(P(N)), etc., obteniendo así una jerarquía infinita de infinitos, que representó mediante ℵ_n y que llamó “números transfinitos”:

₀

₁

₂

₃

siendo ℵ₀ la cardinalidad de N, ℵ₁ = 2^ℵ₀ la cardinalidad de P(N), ℵ₂ = 2^ℵ₁ la cardinalidad de P(P(N)), etc. En general, ℵ_n = 2^ℵ_n−1. El símbolo ℵ es “aleph”, la primera letra del alfabeto hebreo.

Todo conjunto cuya cardinalidad es ℵ₀ es numerable, es decir, se puede poner en correspondencia con los números naturales. Ejemplos de conjuntos numerables son: Z (los números enteros), Q (los números racionales), los números pares, los impares, los primos, los números algebraicos (los que satisfacen una ecuación polinómica con coeficientes enteros), etc.

El conjunto de los números reales R no es numerable

El conjunto de los números reales no es numerable, es decir, no puede ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales. La cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la cardinalidad de los números naturales.

Esto es intuitivamente evidente, pues no existe un número “siguiente” a un número real dado. Entre dos números reales distintos, aunque estén infinitamente próximos, hay infinitos números reales.

Pero Cantor lo demostró formalmente mediante dos métodos utilizando en ambos casos el segmento real S = [0, 1), que incluye los números reales entre 0 y 1 (el 0 está incluido y el 1 no). Los puntos de este segmento se pueden representar mediante secuencias infinitas de ceros y unos tras el punto decimal: desde .0000… hasta .1111….

Los números reales están formados por secuencias infinitas de ceros y unos, que corresponden al conjunto potencia del conjunto de los números naturales, por lo que su número es 2^ℵ₀.
El método de diagonalización.
Se demuestra por contradicción. Se supone que el conjunto de los números reales es numerable y esta suposición conduce a una contradicción. En efecto, si se dispusiera de un conjunto ordenado (secuencia) de los números reales (p.e., 0.10110.., 0.010011..., etc.), sería posible encontrar un número real diferente a todos ellos simplemente eligiendo para el primer número un dígito diferente al primer dígito, un dígito diferente del segundo dígito del segundo número, etc.). Además existen infinitos números reales que no existen en esa hipotética secuencia. Para ello basta con ordenar la secuencia de otra forma. Como existen infinitas maneras de ordenarlos, hay infinitos números reales que no están contemplados en esa secuencia. Por lo tanto, la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales.

La llamada “hipótesis del continuo” afirma que no existe un infinito entre la cardinalidad del conjunto de los números naturales y la cardinalidad del conjunto de los números reales.

Para Cantor, el conjunto de los puntos de un segmento de recta es un infinito actual, es decir, que todos existen ya ahí, sin necesidad de realizar ningún proceso.

Para Hilbert, el infinito actual es considerar la totalidad de los números naturales o la totalidad de los puntos de un segmento como una entidad completa. Para Hilbert, el infinito potencial no es el verdadero infinito, pues es algo que no es, sino que deviene, que viene a ser.

Solución a las Paradojas del Infinito y Especificación en MENTAL
El que aparezca una paradoja indica que algo no hemos entendido bien o que nuestros conceptos son incompletos o que son superficiales. Por lo tanto, es necesario replantearse los conceptos para buscar algo más profundo que resuelva la paradoja. Una paradoja aparece a nivel superficial y es una oportunidad para descubrir algo profundo que ignorábamos. A nivel profundo, las paradojas desaparecen. Niels Bohr decía: “¡Formidable! Hemos topado con una paradoja. Ahora sí que tenemos esperanza de progresar”.

Sobre el concepto de “infinito”

El infinito pertenece al modo de conciencia sintética. Es lo opuesto a “finito”, que pertenece al modo de conciencia analítica:

Lo infinito es una cualidad. Lo finito es una cantidad. No es que haya un solo infinito o que todos los infinitos son iguales. Es que el infinito no es una cantidad sino una cualidad. No tiene sentido hablar de un infinito mayor que otro porque “mayor” es comparación cuantitativa.
Un conjunto infinito puede ser numerable o no numerable. Que un conjunto no sea numerable no implica que sea un infinito de orden superior. Esto no tiene sentido como tampoco tiene sentido decir de su elemento dual (el cero) “un cero de orden inferior”.
No tiene sentido hablar de la cardinalidad de los números reales. Tampoco tiene sentido la hipótesis del continuo.
El infinito es algo indiferenciado, por lo que guarda una cierta analogía con el cero.
Muchas propiedades del modo de conciencia sintética pueden aplicarse a lo infinito: potencial, abstracto, imaginario, abierto, indiferenciado, recursivo, etc. Y las correspondientes propiedades duales se aplican a lo finito (modo de la conciencia analítica): actual, concreto, real, cerrado, diferenciado, no recursivo, etc.
En los números reales no hay un patrón recursivo (como en los números naturales) que permita conceptualizar su cardinalidad.
Si la cardinalidad de los números reales hace referencia a un número de elementos y no es finito, esto quiere decir simplemente que es cualitativamente infinito.
En las series convergentes convergen los infinitos potencial y actual. Por ejemplo, las series

Sobre el argumento diagonal

El argumento diagonal de Cantor para demostrar que los números reales no son numerables no es correcto, pues falla en dos aspectos, ambos relacionados con el concepto de infinito:

El infinito horizontal.
Se refiere a los números irracionales de la lista, números que tienen en general infinitas cifras decimales. Entre ellas hay números irracionales expresables (que tienen un patrón descriptivo) y números irracionales inexpresables. Estos últimos es imposible conocerlos para poder cambiar la cifra decimal correspondiente. Esto solo lo podemos hacer con los números finitos o irracionales expresables (describibles).
El infinito vertical.
Se refiere al proceso infinito de ir generando un número irracional que no está en la lista. Este número es incomputable, el proceso nunca acaba porque debemos recorrer los infinitos números de la lista, por lo que es imposible construir tal nuevo número.

Sobre la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales

La cardinalidad n de un conjunto finito C es siempre menor que su conjunto potencia P(C), pues n < 2^n. Esta propiedad se puede generalizar “para todo n”. Pero esta propiedad no se puede llevar hasta el infinito, pues esta relación solo se cumple para valores finitos de n. Por lo tanto, no tiene sentido afirmar que ∞ < 2^∞ porque 2^∞ = 2·2·2·2·... = ∞, y se llega a la conclusión de que ∞ < ∞.

El mismo razonamiento se podría aplicar a la relación n < 2n, que tiene sentido solo para valores finitos de n. No se puede afirmar que ∞ < 2*∞ porque 2*∞ = ∞+∞ = ∞, y llegándose a la misma contradicción de que ∞ < ∞.

Lo único que diferencia a 2n y 2ⁿ es que en este último la “velocidad” de avance hacia el infinito es mayor. Las derivadas son, respectivamente, 2 (constante) y n*2⁽ⁿ⁻¹⁾. En este último caso, la derivada es tanto mayor cuanto mayor es n.

Por lo tanto, el conjunto potencia de todos los números naturales es infinito, es decir, tiene la cualidad de ser infinito. Y se cumple el principio de que el todo es mayor que sus partes, por ejemplo, el conjunto de los números pares está incluido en el conjunto de los números naturales.

Sobre la equiparabilidad de conjuntos infinitos

Un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia con una de sus partes, pero eso no implica que tengan la misma cardinalidad. Solo los conjuntos finitos pueden tener la misma cardinalidad. En los conjuntos infinitos diferentes siempre hay más elementos pendientes de emparejar en uno de los conjuntos que en el otro.

Sobre la no numerabilidad de los números irracionales

Los números reales finitos (con un número finito de cifras decimales) son numerables, pues son números racionales. Pero los números irracionales (que implican infinitas cifras decimales) no son numerables porque, en general, sus decimales tienen una estructura aleatoria, es decir, no tienen un patrón.

El infinito en MENTAL

El infinito potencial se define de manera descriptiva y recursiva. Con un valor inicial de 0 y sumando 1 indefinidamente:

(∞ =: ∞+1)/(∞ := 0)

También se puede definir así:

(∞ =: 1+…)

La definición del conjunto de números naturales es de tipo descriptivo (no implica el infinito actual:

(N =: {0…})

La cardinalidad del conjunto de números naturales es infinita, pero hay que interpretarla no como un número sino como una cualidad: (N# = ∞).

Infinito y cero son duales respecto a la suma:

⟨( ∞+n = ∞ )⟩     


⟨( 0+n = n )⟩

Infinito y cero tienen un comportamiento análogo respecto al producto y a la división:


⟨( ∞*n = ∞ )⟩   ⟨( 0*n = 0 )⟩


⟨( ∞÷n = ∞ )⟩   ⟨( 0÷n = 0 )⟩

Existe una analogía entre el infinito y la velocidad de la luz (c): c+v = c. La velocidad de la luz es invariante respecto a todos los sistemas inerciales. El infinito es invariante respecto a la suma. En este sentido, el infinito se puede considerar un número imaginario.

Otras propiedades del infinito:

( ∞+∞ = ∞ )
( ∞*∞ = ∞ )
( ∞^∞ = ∞ )
⟨( n^∞ = ∞ )⟩
⟨( ∞^n = ∞ )⟩
( ∞*0 = 0 ) // pues (1+1+…)*0 = 0+0+.. = 0
⟨( ∞ > n )⟩ // ∞ es mayor que cualquier número natural (por su definición)
(∞+1 = ∞) // ∞ es el sucesor de sí mismo
(2 4 …)# = ∞ // la cardinalidad del conjunto de los números pares es ∞
(N# = ∞) // la cardinalidad del conjunto de los números naturales es ∞
(Q# = ∞) // la cardinalidad del conjunto de los números racionales es ∞
(Z# = ∞) // la cardinalidad del conjunto de los números enteros es ∞
(R# = ∞) // la cardinalidad del conjunto de los números reales es ∞

(En R# solo consideramos los números reales expresables: los racionales y los irracionales que tienen un patrón).

Observaciones

La justificación de la expresión (∞+∞ = ∞) se ilustra muy bien con la metáfora del hotel de Hilbert. Se trata de un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas. Cuando llegan infinitos nuevos huéspedes, son alojados sin problemas. Para ello, cada huésped de la habitación n se cambia a la habitación 2n, dejando libres las impares para los nuevos huéspedes.
En la definición de infinito se utiliza la sustitución potencial. Es un ente inaccesible, inalcanzable. Podemos dirigirnos hacia él todo lo que queramos, pero sin posibilidad de alcanzarlo. Pero, a diferencia de lo que ocurre con los números irracionales, no podemos aproximarnos. De hecho, estamos igual de alejados, no importa lo mucho que avancemos. El infinito existe potencialmente porque podemos imaginarlo y describirlo.
El infinito es también actual (o cerrado) pues, como símbolo, es un objeto matemático que puede operarse con él, como se ha visto en las propiedades. Decimos que el infinito es una entidad que se ha “reificado”, cosificado, convertido en algo práctico y manejable.
Según la definición de infinito, la expresión es fractal: el infinito se contiene a sí mismo infinitas veces. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4, 5, ...} incluye como subconjunto a los números múltiplos de 2 {2, 4, 6, ...}, este a su vez a los múltiplos de 4 {4, 8, 12, ...}, este a su vez a los múltiplos de 8, etc., y así hasta el infinito. Todos estos subconjuntos tienen la misma cardinalidad: infinita.

Sobre los ordinales transfinitos

La cardinalidad de un conjunto no depende del orden en que se especifiquen sus elementos. En las secuencias, al considerarse el orden, hay que hablar adicionalmente de “números ordinales”, que son los números asociados a las posiciones que ocupan sus componentes (primero, segundo, etc.).

Si consideramos conjuntos o secuencias de tipo finito, los números actúan como cardinales y ordinales. Por ejemplo, el número 5 puede hacer referencia a un conjunto de 5 elementos o al quinto elemento de una secuencia.

Sin embargo, Cantor utilizó el símbolo ω para referirse al ordinal infinito, es decir, el “último” elemento de la secuencia de los números naturales: (0, 1, 2, ..., ω). Pero, lo mismo que en el caso de los números finitos, no es necesaria una doble notación (para los cardinales y los ordinales), con el infinito tampoco es necesario. Por lo tanto, los dos tipos de infinito (cardinal y ordinal) son ambos aspectos del mismo infinito. Por ello, se puede representar en MENTAL:
N={1…∞}, que equivale a N={1…}.
Se verifica que

(N\i = i)

(N\∞ = ∞)

En MENTAL podríamos también construir expresiones imaginarias con el infinito, por ejemplo,

( x\∞ = 7 ) ( x^∞ = 5 )

Adenda
Los números racionales como series infinitas

Todo número racional a/b se puede expresar como una serie infinita de números racionales distintos que forman una progresión geométrica de razón 1/(b+1):

En el caso de b=1, tenemos la serie

La acogida de las ideas de Cantor

Desde que Cantor enunció su teoría, fue cuestionada primero por los matemáticos y posteriormente por los filósofos. Incluso se cuestionó su carácter matemático: “No sé si lo que predomina en la teoría de Cantor es filosofía o teología, pero estoy seguro de que no es la matemática” (Kronecker). Finalmente, las ideas de Cantor fueron progresivamente aceptadas. Hilbert fue uno de los matemáticos que más le apoyó: “Nadie nos apartará del paraíso que Cantor creó para nosotros”.

Las ideas de Cantor sobre el infinito contribuyeron al desarrollo de las escuelas de fundamentación de la matemática, con visiones enfrentadas entre platonistas, formalistas, logicistas, intuicionistas y constructivistas.

Cantor fue el creador de la matemática moderna, pues al demostrar la no numerabilidad del continuo de los números reales y desarrollar la teoría de los trasfinitos, creó la teoría de conjuntos, una teoría que esperaba fuera el verdadero fundamento de las matemáticas. Se considera que la teoría de conjuntos nació aquel día de diciembre de 1873 en el que Cantor demostró que el conjunto de los números reales no era numerable.

Al final de sus días, Cantor creía que el fundamento de la matemática era metafísico. “Sin un gramo de metafísica las matemáticas son inexplicables”.

Para Cantor, los números transfinitos son una vía hacia Dios, el infinito absoluto, al que denotó como Ω, pero decía que este infinito absoluto caía fuera del campo matemático. Cantor consideraba que la matemática, la metafísica y la teología estaban inextricablemente unidas. Para Cantor, la matemática es el lenguaje de la realidad inmanente de Dios.

La crítica de Wittgenstein a la teoría de Cantor

Wittgenstein atacó duramente la teoría de Cantor sobre los infinitos niveles de infinitos actuales. Consideraba a esta teoría como un “cáncer” de las matemáticas.

“Si puedes mostrar que hay números mayores que el infinito, tu cabeza da vueltas. Esta puede ser la razón principal por la que fueron inventados”.
No existe el infinito actual. Solo tiene sentido considerar el infinito como potencial. No tiene sentido hablar de una “totalidad infinita”. No tiene sentido hablar de números infinitos o conjuntos infinitos. El infinito es incompleto, un proceso sin fin que nunca llega a completarse. Cantor reifica objetos matemáticos que no existen. “No existe tal cosa como ‘todos los números’”. “Es un sinsentido hablar del número de todos los objetos”.
Cantor mezcla intensiones con extensiones. El infinito no es una cantidad. Por lo tanto, no es un ente matemático. El término “infinito” debe evitarse en matemáticas.
El argumento diagonal es incorrecto porque los números irracionales de la lista teórica numerada de números irracionales no pueden expresarse porque contienen infinitas cifras decimales.
Por todas las razones anteriores, la hipótesis del continuo no es “problema irresuelto” (como decía Hilbert), sino más bien un pseudoproblema.

Está crítica a la teoría de Cantor se inscribe en la concepción de Wittgenstein sobre la matemática:

La matemática es de naturaleza algorítmica.
No podemos describir las matemáticas, solo podemos hacerla.
La única realidad matemática está en el proceso constructivo, no en el resultado.
La verdad matemática es creada, no descubierta.

Otras críticas

Wittgenstein no fue el único que criticó que la teoría de Cantor. Destacamos los siguientes:

Kronecker consideraba absurdas las ideas de Cantor sobre los números transfinitos. Incluso afirmaba que los números irracionales no existían, por lo que se opuso a su uso. Kronecker era finista. El finitismo defiende que un objeto matemático solo existe si puede construirse en un número finito de pasos. Es famosa la frase de Kronecker “Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre”.
Poincaré decía que “No hay infinito actual”. Su crítica se intensificó cuando en 1905 las ideas de Cantor fueron aceptadas. Decía que la teoría de los números transfinitos era una “enfermedad” de la que la matemática eventualmente se curaría.
Brower decía que la teoría de Cantor era “un incidente patológico en la historia de las matemáticas de la que se horrorizarán las futuras generaciones”.

Brower admitía lo no numerabilidad de los números reales, por lo que rechazaba el admitir conjuntos que no fueran numerables. También rechazaba el principio del tercero excluido para los conjuntos infinitos.
Hermann Weyl, como Poincaré y Brower, rechazó la idea del infinito actual: un conjunto que contenga todos los números naturales y que pueda operarse con ese conjunto.
El matemático Richard Hamming −el creador del código Hamming, detector y corrector de errores en los datos− replicó a lo que dijo Hilbert “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros” con “No veo ninguna razón para entrar en el”.

Ω es infinito numerable

En MENTAL, el símbolo Ω representa a todas las posibles expresiones del lenguaje, y este conjunto es infinito numerable. Esto se demuestra fácilmente aplicando un proceso de gödelización a las expresiones (llamado así por ser el método utilizado por Gödel en su famoso teorema de incompletud de los sistemas axiomáticos formales):

Se asigna número natural sucesivo (empezando en 1) a cada símbolo individual con los que se pueden formar expresiones, incluyendo el espacio en blanco:

( ) { } [ ] + * ^ ^v ← → = ↓ … 0 1 … 9 a … z … A … Z …
A cada expresión del lenguaje se le asigna el número de Gödel o código 2^a·3^b·5^c·... siendo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, … la secuencia de números primos.

a, b, c, d, e, … los números asociados a cada uno de los símbolos que aparecen en la expresión.

Cada expresión tiene un código diferente. Y a partir de un código se puede reconstruir su expresión asociada (puesto que la factorización de un número en primos es única).
Ordenando las expresiones por sus códigos, se deduce que el conjunto Ω de todas las posibles expresiones del lenguaje es infinito numerable.

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